Problem G3 from the IMO Shortlist 2017

Một lời giải mang tính chất tính toán tỉ lệ của mình cho bài này, ngoài ra trên AoPS còn những lời giải khác như: sử dụng tính chất điểm Humpty, nghịch đảo hay dùng số phức.

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1671271p25296276

Solution.

Let $M$ be the midpoint of $BC$ and $R$ be the center of the circumcircle of triangle $HPQ$
Claim 1: $AH$ is tangent to $\odot(HPQ)$
This is just angle chase:$$\angle AHP=\angle HAB+\angle HBA=90^0-\angle B+90^0-\angle A=\angle C$$and$$\angle PQH=\angle HCA+\angle CAO=180^0-\angle A-\angle B=\angle C$$Claim 2: $\triangle HPQ \sim \triangle ABC (aa)$
Cause we have $\angle PQH=\angle C$, and similarly $\angle QPH=\angle B$
Therefore$$\dfrac{RH}{R_{ABC}}=\dfrac{HP}{AB}=\dfrac{HP}{HA}.\dfrac{HA}{AB}=\dfrac{\sin \angle HAO}{\sin \angle B}.\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{\sin \angle B-\angle C}{\sin \angle B}.\dfrac{AH}{AB}$$We will prove that $\dfrac{HR}{HA}=\dfrac{DM}{DA}$ (then apply Thales' theorem we get the result), which is equivalent to
$$MD=\sin (\angle B-\angle C).R $$$$\Leftrightarrow BC/2-AB.\cos B=\sin (\angle B-\angle C).R $$$$\Leftrightarrow R.\sin A-2R.\sin C.\cos B=R.(\sin B.\cos C-\cos B.\sin C)$$which is true, Q.E.D!



Nhận xét

Đăng nhận xét

Bài đăng phổ biến từ blog này

Một số Bài toán có nhiều cách giải

 Mình xin giới thiệu đến các bạn Một số Bài toán có nhiều cách giải, tài liệu được mình viết từ hồi đầu lớp 10, dù các bài toán đều khá cũ (một số từ các đề thi IMO), và đơn giản, nhưng cũng có thể được đọc cho giải trí 😀 --- Website: bmathnguyen.blogspot.com Github: thebmath23 Linkedin:  https://www.linkedin.com/in/b%C3%A1ch-nguy%E1%BB%85n-xu%C3%A2n-698835219/ Instagram:  @bmathnguyen
Đọc thêm

Một bài toán Bất đẳng thức

Bài toán. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng: $\sqrt{\dfrac{a}{b+3}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+3}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+3}} \geq\dfrac{3}{2}$ Lời giải.  Do $abc=1$ nên tồn tại $x,y,z>0$ sao cho $a=\dfrac{x}{y},b=\dfrac{z}{x},c=\dfrac{y}{z}$. Ta có: $\sqrt{\dfrac{a}{b+3}}=\sqrt{\dfrac{\frac{x}{y}}{\frac{z}{x}+3}}=\sqrt{\dfrac{x^2}{yz+3xy}}$. Thiết lập tương tự rồi sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu, AM-GM ta có đpcm.
Đọc thêm