Nguyễn Xuân Bách

Một lời giải mang tính chất tính toán tỉ lệ của mình cho bài này, ngoài ra trên AoPS còn những lời giải khác như: sử dụng tính chất điểm Humpty, nghịch đảo hay dùng số phức. https://artofproblemsolving.com/community/c6h1671271p25296276 Solution. Let   be the midpoint of   and   be the center of the circumcircle of triangle  Claim 1:    is tangent to  This is just angle chase: and Claim 2:   Cause we have  ,  and similarly  Therefore We will prove that   (then apply Thales' theorem we get the result), which is equivalent to which is true, Q.E.D!

Bài toán. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng: $\sqrt{\dfrac{a}{b+3}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+3}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+3}} \geq\dfrac{3}{2}$ Lời giải.  Do $abc=1$ nên tồn tại $x,y,z>0$ sao cho $a=\dfrac{x}{y},b=\dfrac{z}{x},c=\dfrac{y}{z}$. Ta có: $\sqrt{\dfrac{a}{b+3}}=\sqrt{\dfrac{\frac{x}{y}}{\frac{z}{x}+3}}=\sqrt{\dfrac{x^2}{yz+3xy}}$. Thiết lập tương tự rồi sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu, AM-GM ta có đpcm.

 Bài toán. Chứng minh rằng các điểm đồng viên. (Nguồn: IMO 2008/1)